⚡ Ohm és Kirchhoff törvényei

1. Ohm törvénye

Alapform

$$U = I \times R \quad [\text{V} = \text{A} \times \Omega]$$

Az átrendezett formák:

$$I = \frac{U}{R} \quad (\text{áram meghatározása})$$

$$R = \frac{U}{I} \quad (\text{ellenállás meghatározása})$$

Ohm törvénye grafikusan

U (V)
│         / ← meredeksége = R (Ω)
│        /
│       /
│      /
│     /
└────────── I (A)

Nagyobb $R$ $\rightarrow$ meredekebb egyenes $\rightarrow$ adott áramhoz nagyobb feszültség kell.

Teljesítménnyel kiegészített Ohm-háromszög

        P
       / \
      /   \
     U  ×  I

$$P = U \times I$$

$$U = \frac{P}{I}$$

$$I = \frac{P}{U}$$

Kombinálva Ohm törvényével:

$$P = I^2 \times R$$

$$P = \frac{U^2}{R}$$

2. Kirchhoff I. törvénye — Csomóponti törvény (KCL)

Egy csomópontba befolyó áramok összege egyenlő a kifolyó áramok összegével.

$$\Sigma I_{\text{be}} = \Sigma I_{\text{ki}}$$

Vagy: $$\Sigma I = 0 \quad (\text{előjeles, befolyó: } +, \text{ kifolyó: } -)$$

Példa

        I₁ = 5A →
                    ●──── I₃ → ?
        I₂ = 3A →  │
                    └──── I₄ = 4A ↓

KCL: $$I_1 + I_2 = I_3 + I_4$$

$$5 + 3 = I_3 + 4$$

$$I_3 = 4\text{A}$$

Gyakorlati alkalmazás

• Elosztószekrényben: a főbiztosíték árama = az összes kör áramának összege
• Csomópontban: ha egy fázison 32A folyik, az körök között oszlik el
• N vezető árama: egyensúlyos háromfázisban $\text{N áram} = 0$; aszimmetriánál $\text{N} \neq 0$

3. Kirchhoff II. törvénye — Hurok törvény (KVL)

Egy zárt hurokra felírt feszültségek algebrai összege nulla.

$$\Sigma U = 0 \quad (\text{zárt hurokra})$$

$$\text{Forrás feszültsége} = \text{fogyasztókon eső feszültségek összege}$$

Példa — soros kör

$$U_{\text{forrás}} = 12\text{V}$$

$$R_1 = 4\Omega, \ R_2 = 2\Omega, \ R_3 = 2\Omega \quad (\text{soros})$$

$$I = \frac{U}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{12}{8} = 1,5\text{A}$$

KVL ellenőrzés:

$$U_{R1} = 1,5 \times 4 = 6\text{V}$$

$$U_{R2} = 1,5 \times 2 = 3\text{V}$$

$$U_{R3} = 1,5 \times 2 = 3\text{V}$$

$$\Sigma = 6 + 3 + 3 = 12\text{V} \ \checkmark$$

Gyakorlati alkalmazás

• Feszültségesés: a forrás feszültsége = kábel feszültségesése + fogyasztó feszültsége
• Hurokimpedancia mérés: a zárt hurokra felírt feszültségosztóból következik a zárlati áram
• Akkumulátor + belső ellenállás: $$U_{\text{kapocs}} = \text{EMF} - I \times R_{\text{belső}}$$

4. Soros és párhuzamos kapcsolás

Soros kapcsolás

──[R₁]──[R₂]──[R₃]──

$$R_{\text{eredő}} = R_1 + R_2 + R_3$$

$$I = \text{azonos mindenhol}$$

$$U = U_1 + U_2 + U_3 \quad (\text{feszültségosztó})$$

Feszültségosztó képlet:

$$U_1 = U \times \frac{R_1}{R_1 + R_2}$$

Párhuzamos kapcsolás

    ┌──[R₁]──┐
────┤──[R₂]──├────
    └──[R₃]──┘

$$\frac{1}{R_{\text{eredő}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

$$U = \text{azonos mindenhol}$$

$$I = I_1 + I_2 + I_3 \quad (\text{áramosztó})$$

Két ellenállás párhuzamos eredője:

$$R_{\text{eredő}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$

Áramosztó képlet:

$$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

Vegyes kapcsolás

A vegyes hálózatot lépésről lépésre egyszerűsítjük:

1. Azonosítsuk a soros és párhuzamos csoportokat
2. Helyettesítsük eredő ellenállással
3. Ismételjük amíg egyszerű kör lesz

5. Hálózatszámítási módszerek

Csomóponti feszültség módszer

• Minden csomóponthoz felírjuk a KCL egyenletet
• $N$ csomópont $\rightarrow$ $N-1$ ismeretlen (egy referencia = 0V)
• Komplex hálózatok szisztematikus megoldására

Szuperszimmetria tétele

• Ha több forrás van $\rightarrow$ minden forrást külön vizsgálunk (a többit rövidre zárjuk)
• Az eredők szuperponálódnak

Thevenin-tétel

Bármely lineáris kétpólus helyettesíthető:

[Bármely hálózat] ≡ U_th ──[R_th]──

• $$U_{\text{th}} = \text{nyílt kapocsfeszültség}$$
• $$R_{\text{th}} = \text{belső ellenállás (forrás rövidre zárva)}$$

6. Gyakorlati példák

Kábel ellenállása és feszültségesése

Adott: $$L = 20\text{m}, \ A = 2,5\text{mm}^2, \ \rho = 0,0175 \ \Omega\cdot\text{mm}^2/\text{m}, \ I = 16\text{A}$$

$$R_{\text{kábel}} = \rho \times \frac{2L}{A} = 0,0175 \times \frac{40}{2,5} = 0,28 \ \Omega$$

$$\Delta U = I \times R = 16 \times 0,28 = 4,48\text{V}$$

$$\Delta U\% = \frac{4,48}{230} \times 100 = 1,95\%$$

KVL: $$U_{\text{forrás}} = \Delta U_{\text{kábel}} + U_{\text{fogyasztó}}$$

$$230\text{V} = 4,48\text{V} + 225,52\text{V}$$

$\rightarrow$ Feszültségesés számítása

Hurokimpedancia és zárlati áram

$$Z_s = 0,3\Omega \quad (\text{mért})$$

$$I_k = \frac{U_0}{Z_s} = \frac{230}{0,3} = 767\text{A}$$

KVL: $$U_0 = I_k \times Z_s$$

$$230\text{V} = 767\text{A} \times 0,3\Omega \ \checkmark$$

$\rightarrow$ Zárlati áram számítás

Párhuzamos fogyasztók főárama

Kör 1: $$P_1 = 1000\text{W}, \ U = 230\text{V} \rightarrow I_1 = 4,35\text{A}$$

Kör 2: $$P_2 = 2000\text{W}, \ U = 230\text{V} \rightarrow I_2 = 8,70\text{A}$$

Kör 3: $$P_3 = 500\text{W}, \ U = 230\text{V} \rightarrow I_3 = 2,17\text{A}$$

KCL: $$I_{\text{főkapcsoló}} = I_1 + I_2 + I_3 = 15,22\text{A}$$

$\rightarrow$ B16 elegendő ($15,22 < 16\text{A}$)

7. Kirchhoff törvények és a villamos hálózat

A valós épületi hálózatban Kirchhoff törvényei mindenhol érvényesek: